1.3 Lösning 12a - Versionshistorik

Taifun den 29 september 2014 kl. 10.51

2014-09-29T10:51:17Z

Taifun den 22 september 2012 kl. 16.25

2012-09-22T16:25:16Z

Taifun den 22 september 2012 kl. 16.13

2012-09-22T16:13:07Z

Taifun den 22 september 2012 kl. 16.12

2012-09-22T16:12:18Z

Taifun den 22 september 2012 kl. 16.11

2012-09-22T16:11:30Z

Taifun den 22 september 2012 kl. 16.01

2012-09-22T16:01:01Z

Taifun den 22 september 2012 kl. 15.54

2012-09-22T15:54:31Z

Taifun den 22 september 2012 kl. 15.49

2012-09-22T15:49:45Z

Taifun den 22 september 2012 kl. 15.45

2012-09-22T15:45:21Z

Taifun den 22 september 2012 kl. 15.38

2012-09-22T15:38:33Z

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
-Låt oss kalla polynomet <math> P(x)\,</math>:s två nollställen som har samma absolutbelopp, men olika förtecken, för <math> a\, </math>. Detta innebär följande delfaktorisering av <math> P(x)\, </math>:
+Att polynomet <math> P(x)\,</math> har två nollställen <math> a\, </math> och <math> -a\, </math> innebär följande delfaktorisering av <math> P(x)\, </math>:
-<math> \begin{align} P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 & = (x+a)\cdot (x-a) \cdot Q(x) \\
+:<math> \begin{align} P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 & = (x+a)\cdot (x-a) \cdot Q(x) \\
-                                                               & = (x^2-a^2) \cdot Q(x)
+                                                                & = (x^2-a^2) \cdot Q(x)
-       \end{align} </math>
+        \end{align} </math>
 där <math> Q(x)\, </math> är ett 2:a gradspolynom vars koefficienter b, c och d vi får bestämma:
-<math> Q(x) = b\,x^2 + c\,x + d </math>
+:<math> Q(x) = b\,x^2 + c\,x + d </math>
 Dessutom måste vi bestämma <math> a\, </math>. Då kan vi skriva <math> P(x)\,</math>:s delfaktorisering så här:
-<math> P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x^2-a^2) \cdot (b\,x^2 + c\,x + d) </math>
+:<math> P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x^2-a^2) \cdot (b\,x^2 + c\,x + d) </math>
 Med hjälp av jämförelse av koefficienter ska vi nu bestämma a, b, c och d. För att kunna genomföra jämförelsen av koefficienter utvecklar vi produkten på höger sidan och ordnar termerna:
-<math> \begin{align} & x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18  = (x^2-a^2) \cdot (b\,x^2 + c\,x + d) = \\
+:<math> \begin{align} & x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18  = (x^2-a^2) \cdot (b\,x^2 + c\,x + d) = \\
                       & = b\,x^4 + c\,x^3 + d\,x^2 + a^2\,b\,x^2 - a^2\,c\,x - a^2\,d =  \\
                       & = b\,x^4 + c\,x^3 + (d+a^2\,b)\,x^2 - a^2\,c\,x - a^2\,d
@@ Rad 22: / Rad 22: @@
 Jämförelse av koefficienterna på höger- och vänsterled ger:
-<math> \begin{align}     b & = 1    \\
+:<math> \begin{align}     b & = 1    \\
                           c & = 3    \\
                  d + a^2\,b & = -7   \\
@@ Rad 31: / Rad 31: @@
 Genom insättning av <math> c = 3\, </math> i den 4:e ekvationen får vi:
-<math> \begin{align} - a^2\cdot 3 & = -27          \\
+:<math> \begin{align} - a^2\cdot 3 & = -27          \\
                         a^2        & = {27 \over 3} \\
                         a^2        & = 9            \\

@@ Rad 46: / Rad 46: @@
 De andra ekvationerna bekräftar våra resultat:
-<math> \begin{align} a & = 3  \\
+:<math> \begin{align} a & = 3  \\
-                     b & = 1  \\
+                      b & = 1  \\
-                     c & = 3            \\
+                      c & = 3  \\
-                     d & = 2
+                      d & = 2
           \end{align}</math>
-Därmed har vi bestämt polynomet <math> Q(x)\, </math>:
+Polynomet <math> P(x)\,</math>:s två nollställen som har samma absolutbelopp <math> a=3\, </math>, men olika förtecken, blir då:
 <math> Q(x) = x^2 + 3\,x + 2 </math>
-Delfaktoriseringen av <math> P(x)\, </math> blir då:
+Sammanfattningsvis kan delfaktoriseringen av <math> P(x)\, </math> skrivas så här:
 <math> P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x+3)\cdot (x-3) \cdot (x^2 + 3\,x + 2) </math>

← Äldre version		Versionen från 22 september 2012 kl. 16.13
Rad 58:		Rad 58:
	Delfaktoriseringen av <math> P(x)\, </math> blir då:		Delfaktoriseringen av <math> P(x)\, </math> blir då:

−	<math> P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x+a)\cdot (x-a) \cdot (x^2 + 3\,x + 2) </math>	+	<math> P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x+3)\cdot (x-3) \cdot (x^2 + 3\,x + 2) </math>

← Äldre version		Versionen från 22 september 2012 kl. 16.12
Rad 58:		Rad 58:
	Delfaktoriseringen av <math> P(x)\, </math> blir då:		Delfaktoriseringen av <math> P(x)\, </math> blir då:

−	<math> P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 & = (x+a)\cdot (x-a) \cdot (x^2 + 3\,x + 2) </math>	+	<math> P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x+a)\cdot (x-a) \cdot (x^2 + 3\,x + 2) </math>

@@ Rad 37: / Rad 37: @@
           \end{align}</math>
-Genom insättning av <math> b = -9\, </math> i den tredje får vi:
+Genom insättning av <math> a = 3\, </math> i den sista ekvationen får vi:
-<math> \begin{align} c + 2\cdot(-9) + 1 & = 3   \\
+<math> \begin{align} - 3^2\,d & = -18   \\
-                             c - 18 + 1 & = 3   \\
+                       - 9\,d & = -18   \\
-                             c - 17     & = 3   \\
+                            d & = 2
-                             c          & = 20
           \end{align}</math>
-Den fjärde ekvationen bekräftar vårt resultat:
+De andra ekvationerna bekräftar våra resultat:
-<math> \begin{align}   2\cdot 20 + (-9) & = 31   \\
+<math> \begin{align} a & = 3  \\
--   9  & = 31
+                     b & = 1  \\
           \end{align}</math>
 Därmed har vi bestämt polynomet <math> Q(x)\, </math>:
-<math> Q(x) = x^2 - 9\,x + 20 </math>
+<math> Q(x) = x^2 + 3\,x + 2 </math>
 Delfaktoriseringen av <math> P(x)\, </math> blir då:
-<math> P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot (x^2 - 9\,x + 20) </math>
+<math> P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 & = (x+a)\cdot (x-a) \cdot (x^2 + 3\,x + 2) </math>