1.3 Lösning 10a - Versionshistorik

Taifun den 19 september 2012 kl. 09.59

2012-09-19T09:59:37Z

2012-09-18T14:46:33Z

2012-09-18T14:44:40Z

2012-09-18T14:42:21Z

2012-09-18T14:28:52Z

2012-09-18T14:26:43Z

2012-09-18T14:24:12Z

2012-09-18T14:21:31Z

2012-09-18T14:18:26Z

2012-09-18T14:16:10Z

@@ Rad 48: / Rad 48: @@
           \end{align}</math>
-Därmed har vi bestämt polynomet <math>Q(x)</math>:
+Därmed har vi bestämt polynomet <math> Q(x)\, </math>:
 <math> Q(x) = x^2 - 13\,x + 2 </math>

← Äldre version		Versionen från 18 september 2012 kl. 14.46
Rad 50:		Rad 50:
	Därmed har vi bestämt polynomet <math>Q(x)</math>:		Därmed har vi bestämt polynomet <math>Q(x)</math>:

−	<math> Q(x) = x^2 - 13\,x ~~- 8~~ </math>	+	<math> Q(x) = x^2 - 13\,x + 2 </math>

@@ Rad 44: / Rad 44: @@
 Den fjärde ekvationen bekräftar vårt resultat:
-<math> \begin{align}     - 4\,c & = -24   \\
+<math> \begin{align}     - 4\,c & = -8   \\
-                      - 4\cdot 6 & = -24
+                      - 4\cdot 2 & = -8
           \end{align}</math>
 Därmed har vi bestämt polynomet <math>Q(x)</math>:
-<math> Q(x) = x^2 - 5\,x + 6 </math>
+<math> Q(x) = x^2 - 13\,x - 8 </math>
-−
-Till ekvationen
-−
-<math> x^2 - 5\,x + 6 = 0 </math>
-−
-ger Vietas formler:
-−
-<math> \begin{align} x_1   +   x_2 & = -(-5) = 5   \\
-                     x_1 \cdot x_2 & = 6
-        \end{align}</math>
-−
-Man hittar lösningarna <math> x_1 = 2\,</math> och <math> x_2 = 3\,</math> eftersom <math> 2 + 3 = 5\,</math> och <math> 2 \cdot 3 = 6 </math>.
-−
-Därför kan polynomet <math> x^2 - 5\,x + 6 </math> faktoriseras så här:
-−
-<math> x^2 - 5\,x + 6 = (x - 2) \cdot (x - 3) </math>
-−
-Inför vi nu detta resultat i vår ansats i början får vi faktoriseringen för P(x):
-−
-<math> \begin{align} x^3 - 9\,x^2 + 26\,x - 24 = Q(x) \cdot (x-4) & = (x^2 - 5\,x + 6) \cdot (x-4) = \\
-                                                                  & = (x-2)\,\cdot\,(x-3)\,\cdot\,(x-4)
-       \end{align}</math>

@@ Rad 36: / Rad 36: @@
 Genom insättning av <math> b = -13\, </math> i den tredje får vi:
-<math> \begin{align} c - 4\,b       & = -13   \\
+<math> \begin{align} c - 4\,b       & = 54   \\
-                      c - 4\cdot(-5) & = -13   \\
+                      c - 4\cdot(-13) & = 54   \\
-                      c + 20         & = 26   \\
+                      c + 52         & = 54   \\
-                      c              & = 6
+                      c              & = 2
           \end{align}</math>

@@ Rad 34: / Rad 34: @@
           \end{align}</math>
-Genom insättning av <math> b = -5\, </math> i den tredje får vi:
+Genom insättning av <math> b = -13\, </math> i den tredje får vi:
-<math> \begin{align} c - 4\,b       & = 26   \\
+<math> \begin{align} c - 4\,b       & = -13   \\
-                      c - 4\cdot(-5) & = 26   \\
+                      c - 4\cdot(-5) & = -13   \\
                       c + 20         & = 26   \\
                       c              & = 6

@@ Rad 21: / Rad 21: @@
 <math> \begin{align} a     & = 1    \\
-                   b - 4\,a & = -9   \\
+                   b - 4\,a & = -17  \\
-                   c - 4\,b & = 26   \\
+                   c - 4\,b & = 54   \\
-                     - 4\,c & = -24
+                     - 4\,c & = -8
           \end{align}</math>
 Genom insättning av <math> a = 1\, </math> i den andra ekvationen får vi:
-<math> \begin{align} b - 4\cdot 1 & = -9     \\
+<math> \begin{align} b - 4\cdot 1 & = -17     \\
-                      b - 4        & = -9     \\
+                      b - 4        & = -17     \\
-                      b            & = -9 + 4 \\
+                      b            & = -17 + 4 \\
-                      b            & = -5
+                      b            & = -13
           \end{align}</math>

@@ Rad 14: / Rad 14: @@
 Vi vet från teoridelen att två polynom är lika med varandra om alla deras motsvarande koefficienter, dvs de som tillhör termer av samma grad, överensstämmer. För att kunna genomföra denna jämförelse av koefficienter utvecklar vi produkten på höger sidan och ordnar termerna:
-<math> \begin{align} x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 & = a\,x^3 - 4\,a\,x^2 + b\,x^2 - 4\,b\,x + c\,x - 4\,c =  \\
+<math> \begin{align} x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 & = a\,x^3 + b\,x^2 + c\,x - 4\,a\,x^2 - 4\,b\,x - 4\,c =  \\
                                                 & = a\,x^3 + (b-4a)\,x^2 + (c-4b)\,x - 4c
         \end{align}</math>

@@ Rad 10: / Rad 10: @@
 där a, b och c är koefficienter som vi måste bestämma. Sätter vi in denna form i ansasten ovan får vi:
-<math> x^3 - 9\,x^2 + 26\,x - 24 = (x-4) \cdot (a\,x^2 + b\,x + c) </math>
+<math> x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot (a\,x^2 + b\,x + c) </math>
 Vi vet från teoridelen att två polynom är lika med varandra om alla deras motsvarande koefficienter, dvs de som tillhör termer av samma grad, överensstämmer. För att kunna genomföra denna jämförelse av koefficienter utvecklar vi produkten på höger sidan och ordnar termerna:
-<math> \begin{align} x^3 - 9\,x^2 + 26\,x - 24 & = a\,x^3 - 4\,a\,x^2 + b\,x^2 - 4\,b\,x + c\,x - 4\,c =  \\
+<math> \begin{align} x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 & = a\,x^3 - 4\,a\,x^2 + b\,x^2 - 4\,b\,x + c\,x - 4\,c =  \\
                                                 & = a\,x^3 + (b-4a)\,x^2 + (c-4b)\,x - 4c
         \end{align}</math>

@@ Rad 2: / Rad 2: @@
 Eftersom <math> (x-4)\, </math> är en av polymets faktorer kan vi skriva följande ansats:
-<math> x^3 - 9\,x^2 + 26\,x - 24 = {\rm (ett\ 2:a\ gradspolynom)} \cdot (x-4) </math>
+<math> x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot {\rm (ett\ 2:a\ gradspolynom)} </math>
-Vi betecknar det okända 2:a gradspolynomet med <math> Q(x)\, </math>. Den allmänna formen för ett  2:a gradspolynom är:
+Vi betecknar det okända 2:a gradspolynomet med <math> Q(x)\, </math>. Den allmänna formen för ett 2:a gradspolynom är:
 <math> Q(x) = a\,x^2 + b\,x + c </math>