1.1 Om tal - Versionshistorik

Taifun den 19 oktober 2025 kl. 17.49

2025-10-19T17:49:25Z

Taifun den 30 december 2022 kl. 13.08

2022-12-30T13:08:28Z

Taifun den 30 december 2022 kl. 13.06

2022-12-30T13:06:12Z

Taifun den 30 december 2022 kl. 12.50

2022-12-30T12:50:53Z

Taifun den 30 december 2022 kl. 12.45

2022-12-30T12:45:19Z

Taifun den 30 december 2022 kl. 12.44

2022-12-30T12:44:10Z

Taifun den 30 december 2022 kl. 12.42

2022-12-30T12:42:01Z

Taifun den 30 december 2022 kl. 12.38

2022-12-30T12:38:20Z

Taifun den 30 december 2022 kl. 12.35

2022-12-30T12:35:30Z

Taifun den 30 december 2022 kl. 12.33

2022-12-30T12:33:00Z

@@ Rad 57: / Rad 57: @@
 == <b><span style="color:#931136">Olika typer av tal</span></b> ==
-<div class="tolv"> <!-- tolv3 -->
+<div class="tolv">
 <table>
 <tr>
@@ Rad 93: / Rad 93: @@
 Rationella tal är [[1.5_Bråkräkning|<b><span style="color:blue">tal i bråkform</span></b>]] och kan alltid skrivas i decimalform. Dock finns decimaltal som inte kan skrivas i bråkform.
-<b>Exempel:</b> &nbsp; Drar man roten ur <math> \, 2 \, </math> kommer man till<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad \sqrt{2} = 1,4142135623730950488016887\ldots </math>
+<b>Exempel</b> &nbsp; &nbsp; Drar man roten ur <math> \, 2 \, </math> kommer man till<span>:</span> <math> \qquad \sqrt{2} = 1,4142135623730950488\ldots \quad</math> (Diagonalen i en kvadrat med sidlängden 1).
 <math> \sqrt{2} \, </math> kan inte anges i bråkform <math>-</math> är inget rationellt tal <math>-</math> därför att det har oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (utan period).
-Sådana tal kallas för <b><span style="color:red">irrationella tal</span></b> och är decimaltal med en oändlig [[1.3 Decimaltal#Icke-periodisk_decimalutveckling|<b><span style="color:blue">icke-periodisk decimalutveckling</span></b>]]. <math> \sqrt{2} \, </math>, <math> \sqrt{3} \, </math> och talet <math> \, \pi \, </math> är exempel på irrationella tal.
+Sådana tal kallas för <i>irrationella tal</i> och är decimaltal med en oändlig [https://matte1b.mathonline.se/index.php?title=1.3_Tal_i_decimalform#Icke-periodisk_decimalutveckling <b><span style="color:blue">icke-periodisk decimalutveckling</span></b>]. <math> \sqrt{2} \, </math>, <math> \sqrt{3} \, </math> och talet <math> \, \pi \, </math> är exempel på irrationella tal.
-Matematiskt exakt talat, är <math> \, \sqrt{2} \, </math> [[2.3 Gränsvärde|<b><span style="color:blue">gränsvärdet (limes)</span></b>]] av en följd av rationella tal som i varje steg närmar sig <math> \, \sqrt{2} </math>. Gränsvärdet själv är inte längre rationellt. Därför inför man en ny talmängd, de irrationella talen.
+Matematiskt exakt talat, är <math> \, \sqrt{2} \, </math> [https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=2.3_Gr%C3%A4nsv%C3%A4rde <b><span style="color:blue">gränsvärdet (limes)</span></b>] av en följd av rationella tal som i varje steg närmar sig <math> \, \sqrt{2} </math>.
-Följande ny taltyp uppstår:
+Gränsvärdet själv<span>:</span> <math> \, \sqrt{2} \, </math> är inte längre rationellt utan ligger <i>utanför</i> den rationella talmängden.
-<div class="border-divblue"><b><span style="color:red">Reella tal:</span></b> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;De rationella talen tillsammans med alla irrationella.</div>
+Därför inför man en ny typ av tal och kallar dem för:
 Men det finns ytterligare en talmängd som är ännu mer omfattande än de reella talen.
-Löser man t.ex. ekvationen <math> x^2 + 1 = 0 </math> får man <math> \; x = \sqrt{-1} </math> som inte är något reellt tal därför att det inte finns något reellt tal som multiplicerat med sig själv ger <math> \, -1 </math>. Vi säger: ekvationen saknar reell lösning.
+Löser man t.ex. ekvationen <div class="smallBoxVariant"><math>x^2 + 1 = 0</math> </div> får man <math> \; x = {\color{Red} {\sqrt{-1}}} </math> som inte är något reellt tal därför att det inte finns något reellt tal som multiplicerat med sig själv ger <math> \, -1 </math>.
-För att lösa detta dilemma införs en ny symbol <math> \; {\color{Red} i} \, = \, \sqrt{-1} \; </math> med egenskapen <math> \; {\color{Red} i}\,^2 \, = \, -1 \; </math> med vars hjälp den nya talmängden definieras:
+För att lösa detta dilemma inför vi en ny symbol <math> \; {\color{Red} i} \, = \, \sqrt{-1} \; </math> med egenskapen <math> \; {\color{Red} i}\,^2 \, = \, -1 \; </math> och definierar den nya talmängden med hjälp av den nya symbolen:
-<div class="border-divblue"><b><span style="color:red">Komplexa tal:</span></b>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Alla tal av formen <math> \quad a \, + \, b \cdot {\color{Red} i} \quad </math> med <math> \quad a, b \; = \; </math> reella tal.</div>
+<div class="border-divblue"><b><span style="color:red">Komplexa tal:</span></b>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Alla tal av formen <math> \quad a \, + \, b \cdot {\color{Red} i} \quad </math> med <math> \quad a, b \; = \; </math> reella tal och &nbsp; &nbsp; <div class="smallBoxVariant"><math>{\color{Red} i}\,^2 \, = \, -1</math> </div></div>
 Alla talmängder bygger sin konstruktion på och är resultat av abstraktioner, i princip av samma typ som inledningsvis introducerades med talbegreppet <math>-</math> fast på högre nivå. Symbolen <math> \, {\color{Red} i} \, </math> är ett exempel på en sådan [[Abstraktion|<b><span style="color:blue">abstraktion</span></b>]].

@@ Rad 33: / Rad 33: @@
 <b><span style="color:red">Talet <math> \, {\color{Red} n} \, </math> </span></b> är det gemensamma hos mängder som innehåller precis <math> \, {\color{Red} n} \, </math> objekt.</div>
-Men är detta inte bara att byta ut ordet ''tal'' mot ett annat: ''antal''? Vi kan lika bra fortsätta att fråga: Vad är ''antal''?  Det löser väl inget problem.
+Men är detta inte bara att byta ut ordet ''tal'' mot ett annat: ''antal''? Vi kan lika bra fortsätta att fråga: Vad är ''antal''?  Det löser inget problem.
 Frågan ''Vad <b><span style="color:red">är</span></b> tal?'' är egentligen irrelevant. Relevant är snarare det vi <b><span style="color:red">gör</span></b> när vi räknar antalet saker och ting.

@@ Rad 33: / Rad 33: @@
 <b><span style="color:red">Talet <math> \, {\color{Red} n} \, </math> </span></b> är det gemensamma hos mängder som innehåller precis <math> \, {\color{Red} n} \, </math> objekt.</div>
-Men är detta inte bara att byta ut ordet ''tal'' mot ett annat: ''antal''? Det löser väl inget problem. Vi kan lika bra fortsätta att fråga: Vad är ''antal''?
+Men är detta inte bara att byta ut ordet ''tal'' mot ett annat: ''antal''? Vi kan lika bra fortsätta att fråga: Vad är ''antal''?  Det löser väl inget problem.
-Det handlar snarare om <b><span style="color:red">tankeprocessen</span></b> som bakom ligger bakom räknandet: Det vi <b><span style="color:red">gör</span></b> när vi räknar antalet saker och ting.
+Frågan ''Vad <b><span style="color:red">är</span></b> tal?'' är egentligen irrelevant. Relevant är snarare det vi <b><span style="color:red">gör</span></b> när vi räknar antalet saker och ting.
-Denna tankeprocess kallas för <b><span style="color:red">abstraktion</span></b>: Vi bortser från de oväsentliga skillnaderna mellan objekten (katter och hundar).
+Det handlar i själva verket om <b><span style="color:red">tankeprocessen</span></b> som bakom ligger bakom räknandet.
-Kvar blir det väsentliga, gemensamma hos dem (talet tre). Så bildas begreppet <b><span style="color:red">tal</span></b>. Läs mer om:
+Denna tankeprocess kallas för <b><span style="color:red">abstraktion</span></b>: Man bortser från de oväsentliga skillnaderna mellan objekten (katter och hundar).
 </div> <!-- tolv1 -->

@@ Rad 37: / Rad 37: @@
 Det handlar snarare om <b><span style="color:red">tankeprocessen</span></b> som bakom ligger bakom räknandet: Det vi <b><span style="color:red">gör</span></b> när vi räknar antalet saker och ting.
-Denna tankeprocess kallas för <b><span style="color:red">abstraktion</span></b>: Vi bortser från de oväsentliga skillnaderna mellan objekten (katter och hundar). Kvar blir det väsentliga, gemensamma hos dem (talet tre). Så bildas begreppet <b><span style="color:red">tal</span></b>. Läs mer om:
+Denna tankeprocess kallas för <b><span style="color:red">abstraktion</span></b>: Vi bortser från de oväsentliga skillnaderna mellan objekten (katter och hundar).
 </div> <!-- tolv1 -->

@@ Rad 35: / Rad 35: @@
 Men är detta inte bara att byta ut ordet ''tal'' mot ett annat: ''antal''? Det löser väl inget problem. Vi kan lika bra fortsätta att fråga: Vad är ''antal''?
-Det handlar snarare om <b><span style="color:red">tankeprocessen</span></b> som bakom ligger bakom räknandet: Det vi <b><span style="color:red">gör</span></b> när vi räknar antalet saker och ting. Vi har lärt oss detta som barn, men glömt hur det gick till.
+Det handlar snarare om <b><span style="color:red">tankeprocessen</span></b> som bakom ligger bakom räknandet: Det vi <b><span style="color:red">gör</span></b> när vi räknar antalet saker och ting.
 Denna tankeprocess kallas för <b><span style="color:red">abstraktion</span></b>: Vi bortser från de oväsentliga skillnaderna mellan objekten (katter och hundar). Kvar blir det väsentliga, gemensamma hos dem (talet tre). Så bildas begreppet <b><span style="color:red">tal</span></b>. Läs mer om:

@@ Rad 29: / Rad 29: @@
 <b><span style="color:red">Antalet</span></b> saker och ting som finns i en mängd, kallas för <b><span style="color:red">talet <math> \, {\color{Red} n} \, </math> </span></b>.</div>
-<b><span style="color:red">Talet <math> \, {\color{Red} n} \, </math> </span></b> är det gemensamma hos mängder som innehåller precis <math> \, {\color{Red} n} \, </math> objekt.
+Eller:
 Men är detta inte bara att byta ut ordet ''tal'' mot ett annat: ''antal''? Det löser väl inget problem. Vi kan lika bra fortsätta att fråga: Vad är antal?

@@ Rad 23: / Rad 23: @@
 </tr>
 </table>
-Om vi bortser från själva katter och hundar så är det <b><span style="color:red">antalet tre</span></b> som är gemensamt för båda mängder.
+Om vi bortser från själva katter och hundar så är det <b><span style="color:red">antalet</span> 3</b> som är gemensamt för båda mängder.
 Vi kan generalisera:

@@ Rad 16: / Rad 16: @@
 <tr>
    <td> [[Image: Tre katter_80.jpg]] </td>
-   <td> <math> \qquad </math> </td>
+   <td> <math> \quad </math> </td>
-   <td> Vad är det gemensamma <br/><br/> <math> \qquad\qquad </math> hos <br/><br/>
+   <td> Vad är det <b><span style="color:red">gemensamma</span></b> <br/><br/> <math> \qquad\qquad </math> hos <br/><br/>
         tre katter och tre hundar? </td>
-   <td> <math> \qquad </math> </td>
+   <td> <math> \quad </math> </td>
-   <td> [[Image: Tre hundar_80.jpg]] </td>
+   <td> [[Image: Tre hundar_80.jpg]] <math>\qquad\qquad</math> [[Image: Tre_65.gif]] </td>
 </tr>
 </table>