1.1 Lösning 5a - Versionshistorik

Taifun den 30 januari 2011 kl. 21.56

2011-01-30T21:56:14Z

Taifun den 30 januari 2011 kl. 21.51

2011-01-30T21:51:00Z

Taifun den 30 januari 2011 kl. 21.50

2011-01-30T21:50:12Z

Taifun den 30 januari 2011 kl. 20.34

2011-01-30T20:34:15Z

Taifun: Created page with "Lösningen av övning 4b visar graferna till $y_1 = \sqrt{x^2 + 1}$ (blå kurva) och $\displaystyle y_2 = x - 3$ (grön linje): [[Image: Rotekv_Övn_4b..."

2011-01-30T13:31:23Z

Created page with "Lösningen av övning 4b visar graferna till <math> y_1 = \sqrt{x^2 + 1} </math> (blå kurva) och <math> \displaystyle y_2 = x - 3 </math> (grön linje): [[Image: Rotekv_Övn_4b..."

Ny sida

Lösningen av övning 4b visar graferna till <math> y_1 = \sqrt{x^2 + 1} </math> (blå kurva) och <math> \displaystyle y_2 = x - 3 </math> (grön linje):

[[Image: Rotekv_Övn_4bR.jpg]]

Den räta linjens lutning är 1. Grafen visar att man behöver bara höja denna lutning för att få en skärningspunkt mellan kurvan och linjen. En höjning av lutningen till t.ex. 3 skulle räcka för en skärningspunkt. Därför borde följande rotekvation få en sann rot:

<math> \sqrt{x^2 + 1} = 3\,x - 3 </math>

Lösningen:

<math>\begin{align} \sqrt{x^2 + 1} & = 3\,x - 3 & & \qquad | \; (\;\;\;)^2 \\
x^2 + 1 & = (3\,x - 3)^2 & & \\
x^2 + 1 & = 9\,x^2 - 18\,x + 9 & & \qquad | \;\; - x^2 \\
1 & = 8\,x^2 - 18\,x + 9 & & \qquad | \;\; - 1 \\
0 & = 8\,x^2 - 18\,x + 8 & & \qquad | \;\; / 8 \\
0 & = x^2 - 2,25\,x + 1 \\
x_{1,2} & = 1,125 \pm \sqrt{1,266 - 1} \\
x_{1,2} & = 1,125 \pm 0,515 \\
x_1 & = 1,64 \\
x_2 & = 0,61 \\
\end{align}</math>

Prövning av <math> x_1 = 1,64 </math>:

VL: <math> \sqrt{1,64^2 + 1} = 1,92 </math>

HL: <math> 3\cdot 1,64 - 3 = 1,92 </math>

VL = HL <math> \Rightarrow\, x_1 = 1,64 </math> är en sann rot.

Prövning av <math> x_2 = 0,61 </math>:

VL: <math> \sqrt{0,61^2 + 1} = 1,17 </math>

HL: <math> 3\cdot 0,61 - 3 = -1,17 </math>

VL <math>\not=</math> HL <math> \Rightarrow\, x_2 = 0,61 </math> är en falsk rot.

← Äldre version		Versionen från 30 januari 2011 kl. 21.56
Rad 5:		Rad 5:
	Den räta linjens lutning är 1. Grafen visar att man endast behöver höja denna lutning för att få en skärningspunkt mellan kurvan och linjen. En höjning av lutningen till t.ex. 3 skulle räcka för en skärningspunkt. Därför borde följande rotekvation ha en sann rot:		Den räta linjens lutning är 1. Grafen visar att man endast behöver höja denna lutning för att få en skärningspunkt mellan kurvan och linjen. En höjning av lutningen till t.ex. 3 skulle räcka för en skärningspunkt. Därför borde följande rotekvation ha en sann rot:

−	<math> \sqrt{x^2 + 1} = 3\,x - 3 </math>	+	::<math> \sqrt{x^2 + 1} = 3\,x - 3 </math>
		+
		+	Att detta är fallet visar graferna till <math> y_1 = \sqrt{x^2 + 1} </math> (blå kurva) och <math> y_2 = 3\,x - 3 </math> (grön linje). De skär varandra:
		+
		+	[[Image: Rotekv_Mod_Övn_5c.jpg]]

@@ Rad 3: / Rad 3: @@
 [[Image: Rotekv_Övn_4bR.jpg]]
-Den räta linjens lutning är 1. Grafen visar att man endast behöver bara höja denna lutning för att få en skärningspunkt mellan kurvan och linjen. En höjning av lutningen till t.ex. 3 skulle räcka för en skärningspunkt. Därför borde följande rotekvation ha en sann rot:
+Den räta linjens lutning är 1. Grafen visar att man endast behöver höja denna lutning för att få en skärningspunkt mellan kurvan och linjen. En höjning av lutningen till t.ex. 3 skulle räcka för en skärningspunkt. Därför borde följande rotekvation ha en sann rot:
 <math> \sqrt{x^2 + 1} = 3\,x - 3 </math>

← Äldre version		Versionen från 30 januari 2011 kl. 20.34
Rad 6:		Rad 6:

	<math> \sqrt{x^2 + 1} = 3\,x - 3 </math>		<math> \sqrt{x^2 + 1} = 3\,x - 3 </math>
−
−	~~Lösningen:~~
−
−	~~<math>\begin{align} \sqrt{x^2 + 1} & = 3\,x - 3 & & \qquad \| \; (\;\;\;)^2 \\~~
−	~~x^2 + 1 & = (3\,x - 3)^2 & & \\~~
−	~~x^2 + 1 & = 9\,x^2 - 18\,x + 9 & & \qquad \| \;\; - x^2 \\~~
−	~~1 & = 8\,x^2 - 18\,x + 9 & & \qquad \| \;\; - 1 \\~~
−	~~0 & = 8\,x^2 - 18\,x + 8 & & \qquad \| \;\; / 8 \\~~
−	~~0 & = x^2 - 2,25\,x + 1 \\~~
−	~~x_{1,2} & = 1,125 \pm \sqrt{1,266 - 1} \\~~
−	~~x_{1,2} & = 1,125 \pm 0,515 \\~~
−	~~x_1 & = 1,64 \\~~
−	~~x_2 & = 0,61 \\~~
−	~~\end{align}</math>~~
−
−	~~Prövning av <math> x_1 = 1,64 </math>:~~
−
−	~~VL: <math> \sqrt{1,64^2 + 1} = 1,92 </math>~~
−
−	~~HL: <math> 3\cdot 1,64 - 3 = 1,92 </math>~~
−
−	~~VL = HL <math> \Rightarrow\, x_1 = 1,64 </math> är en sann rot.~~
−
−	~~Prövning av <math> x_2 = 0,61 </math>:~~
−
−	~~VL: <math> \sqrt{0,61^2 + 1} = 1,17 </math>~~
−
−	~~HL: <math> 3\cdot 0,61 - 3 = -1,17 </math>~~
−
−	~~VL <math>\not=</math> HL <math> \Rightarrow\, x_2 = 0,61 </math> är en falsk rot.~~