1.1 Lösning 11 - Versionshistorik

Taifun den 7 februari 2011 kl. 08.22

2011-02-07T08:22:40Z

2010-12-16T22:12:36Z

2010-11-21T17:40:17Z

2010-11-21T17:39:29Z

2010-11-21T17:36:27Z

2010-11-21T17:31:41Z

2010-11-21T17:29:04Z

2010-11-21T17:27:35Z

2010-11-21T17:19:07Z

2010-11-21T17:17:58Z

@@ Rad 4: / Rad 4: @@
                      {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 + (x^2 + 4\,x + 1) & = {3\over2}                    & & \qquad | \cdot 2            \\
                      (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1)         & = 3                            & & \qquad | - 3                \\
-                     (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) + 3     & = 0                                                            \\
+                     (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) - 3     & = 0                                                            \\
       \end{align}</math>
@@ Rad 11: / Rad 11: @@
 ::::::<math> t = x^2 + 4\,x + 1 </math>
-Ersätter man i 4:e gradsekvationen <math> (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) + 3 = 0 </math> enligt substitutionen ovan <math> x^2 + 4\,x + 1 </math> med <math> \displaystyle t </math> får man 2:e gradsekvationen <math> t^2 + 2\,t - 3 = 0 </math> som kan lösas med pq-formeln:
+Ersätter man i 4:e gradsekvationen <math> (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) - 3 = 0 </math> enligt substitutionen ovan <math> x^2 + 4\,x + 1 </math> med <math> \displaystyle t </math> får man 2:e gradsekvationen <math> t^2 + 2\,t - 3 = 0 </math> som kan lösas med pq-formeln:
 :::::<math>\begin{align} t^2 + 2\,t - 3 & = 0                     \\

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
 Först förenklar vi ekvationen genom att ordna termerna och bli av med bråken:
-<math>\begin{align} {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2                    & = {3\over2} - (x^2 + 4\,x + 1) & & \qquad | + (x^2 + 4\,x + 1) \\
+<math>\begin{align} {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2                    & = {3\over2} - (x^2 + 4\,x + 1) & & \qquad  \\
                      {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 + (x^2 + 4\,x + 1) & = {3\over2}                    & & \qquad | \cdot 2            \\
                      (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1)         & = 3                            & & \qquad | - 3                \\

@@ Rad 9: / Rad 9: @@
 Nu ser man att uttrycket <math> x^2 + 4\,x + 1 </math> förekommer två gånger i ekvationen. Ersätter man det med en ny variabel kan ekvationen förenklas väsentligt. Gör man det på rätt sätt går 4:e gradsekvationen över till en 2:e gradsekvation. Följande substitution åstadkommer detta:
-::::::::::<math> t = x^2 + 4\,x + 1 </math>
+::::::<math> t = x^2 + 4\,x + 1 </math>
 Ersätter man i 4:e gradsekvationen <math> (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) + 3 = 0 </math> enligt substitutionen ovan <math> x^2 + 4\,x + 1 </math> med <math> \displaystyle t </math> får man 2:e gradsekvationen <math> t^2 + 2\,t - 3 = 0 </math> som kan lösas med pq-formeln:

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
 Först förenklar vi ekvationen genom att ordna termerna och bli av med bråken:
-::<math>\begin{align} {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2                    & = {3\over2} - (x^2 + 4\,x + 1) & & \qquad | + (x^2 + 4\,x + 1) \\
+<math>\begin{align} {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2                    & = {3\over2} - (x^2 + 4\,x + 1) & & \qquad | + (x^2 + 4\,x + 1) \\
                      {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 + (x^2 + 4\,x + 1) & = {3\over2}                    & & \qquad | \cdot 2            \\
                      (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1)         & = 3                            & & \qquad | - 3                \\
@@ Rad 9: / Rad 9: @@
 Nu ser man att uttrycket <math> x^2 + 4\,x + 1 </math> förekommer två gånger i ekvationen. Ersätter man det med en ny variabel kan ekvationen förenklas väsentligt. Gör man det på rätt sätt går 4:e gradsekvationen över till en 2:e gradsekvation. Följande substitution åstadkommer detta:
-:::::::::::::::<math> t = x^2 + 4\,x + 1 </math>
+::::::::::<math> t = x^2 + 4\,x + 1 </math>
 Ersätter man i 4:e gradsekvationen <math> (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) + 3 = 0 </math> enligt substitutionen ovan <math> x^2 + 4\,x + 1 </math> med <math> \displaystyle t </math> får man 2:e gradsekvationen <math> t^2 + 2\,t - 3 = 0 </math> som kan lösas med pq-formeln:

@@ Rad 22: / Rad 22: @@
 Sätter vi först <math> t_1 = 1 </math> tillbaka i substitutionen ovan får vi:
-:::::<math>\begin{align} x^2 + 4\,x + 1 & = 1         & & \qquad\qquad | - 1  \\
+:::::<math>\begin{align} x^2 + 4\,x + 1 & = 1         & & \qquad\qquad\quad | - 1  \\
-                          x^2 + 4\,x     & = 0                    \\
+                          x^2 + 4\,x     & = 0                                      \\
       \end{align}</math>
@@ Rad 35: / Rad 35: @@
 Sätter vi sedan <math> t_2 = - 3 </math> tillbaka i substitutionen ovan får vi:
-:::::<math>\begin{align} x^2 + 4\,x + 1 & = -3  & & \qquad\qquad | + 3  \\
+:::::<math>\begin{align} x^2 + 4\,x + 1 & = -3        & & | + 3  \\
-                          x^2 + 4\,x + 4 & = 0                           \\
+                          x^2 + 4\,x + 4 & = 0                    \\
-                                x_{3,4}  & = - 2 \pm \sqrt{4 - 4}        \\
+                                x_{3,4}  & = - 2 \pm \sqrt{4 - 4} \\
-                                x_3      & = - 2                         \\
+                                x_3      & = - 2                  \\
       \end{align}</math>

@@ Rad 33: / Rad 33: @@
       \end{align}</math>
-Prövning av <math> x_1 = 1,64 </math>:
+:::::<math>\begin{align} x^2 + 4\,x + 1 & = -3  & & \qquad\qquad | + 3  \\
-VL: <math> \sqrt{1,64^2 + 1} = 1,92 </math>
+Sammanfattningsvis kan vi ange att ekvationen
-HL: <math> 3\cdot1,64 - 3 = 1,92 </math>
+<math> {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 = {3\over2} - (x^2 + 4\,x + 1) </math>
-VL = HL <math> \Rightarrow\, x = 1,64 </math> är en sann rot. I denna uppgift räcker det att visa en sann rot.
+har lösningarna:
-−
-Den andra lösningen <math> x_1 = 0,61 </math> är en falsk rot vilket återstår att visa.

@@ Rad 28: / Rad 28: @@
 Eftersom detta är en 2:e gradsekvation som saknar konstant term kan vi genom att bryta ut x på vänsterledet och använda nollproduktmetoden lösa den enkelt:
-:::::<math>\begin{align} x\;(x + 4)     & = 0                    \\  \\
+::::::<math>\begin{align} x\;(x + 4)     & = 0                   \\
-                               x_1      & = 0                     \\
+                                x_1      & = 0                   \\
-                               x_2      & = - 4                   \\
+                                x_2      & = - 4                 \\
       \end{align}</math>